Cálculo Exemplos

$\arctan (x - 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} (1 + 0)$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}} \cdot 1$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reordene os termos.

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2} + 1}$

Etapa 3.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) (x - 1) + 1}$

Etapa 3.2.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x (x - 1) - 1 (x - 1) + 1}$

Etapa 3.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1}$

Etapa 3.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Etapa 3.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1}{x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Etapa 3.2.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Etapa 3.2.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Etapa 3.2.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + 1}$

Etapa 3.2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - x - x + 1 + 1}$

Etapa 3.2.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1 + 1}$

Etapa 3.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 2}$