Cálculo Exemplos

$\arctan (x) + \arctan (\frac{1}{x})$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\arctan (x) + \arctan (\frac{1}{x})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$

Etapa 2

A derivada de $\arctan (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{1}{x})]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

Etapa 3.4

Combine $\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ e $x^{- 2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$

Etapa 3.5

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}}$

Etapa 4.3.3

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.3.5

Reordene os termos.

$\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.3.7

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.4

Divida $0$ por $x^{2} + 1$ .

$0$