Cálculo Exemplos

$\cos ({(1 - x^{2})}^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = {(1 - x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(1 - x^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(1 - x^{2})}^{2}$ .

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 - x^{2}$ .

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - x^{2}$ .

$- \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Etapa 3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 3.6

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) (2 x))$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.8.1

Mova $2$ para a esquerda de $1 - x^{2}$ .

$2 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (2 \cdot (1 - x^{2}) x)$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) ((1 - x^{2}) x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (1 x - x^{2} x)$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{2} x)$

Etapa 4.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - (x^{1} x^{2}))$

Etapa 4.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{1 + 2})$

Etapa 4.2.4

Some $1$ e $2$ .

$4 \sin ({(1 - x^{2})}^{2}) (x - x^{3})$