Cálculo Exemplos

$\cos (\sqrt{x^{2} + 1})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} + 1$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + 1$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 8.3

Mova ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 8.4

Combine $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 11

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Etapa 12

Simplifique os termos.

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Etapa 12.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Etapa 12.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 12.3

Combine $- 2$ e $\frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 12.4

Combine $\frac{- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.5

Fatore $2$ de $- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x$ .

$\frac{2 (- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.1

Fatore $2$ de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x)}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15

Reordene os fatores em $\sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) x$ .

$- \frac{x \sin ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$