Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$

Etapa 1

Diferencie.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + 3 \ln (\frac{1}{x})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

Etapa 1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \ln (\frac{1}{x})]$ .

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \ln (\frac{1}{x})$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 + 3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} (- x^{- 2}))$

Etapa 2.5

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{x}$ .

$0 + 3 (1 x (- x^{- 2}))$

Etapa 2.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$0 + 3 (x (- x^{- 2}))$

Etapa 2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$0 + 3 (- (x^{1} x^{- 2}))$

Etapa 2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$0 + 3 (- x^{1 - 2})$

Etapa 2.9

Subtraia $2$ de $1$ .

$0 + 3 (- x^{- 1})$

Etapa 2.10

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$0 - 3 x^{- 1}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 3 \frac{1}{x}$

Etapa 3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{- 3}{x}$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - \frac{3}{x}$

Etapa 3.2.3

Subtraia $\frac{3}{x}$ de $0$ .

$- \frac{3}{x}$