Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{2} e^{4 x + 1}$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2} e^{4 x + 1}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{4 x + 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{4 x + 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{4 x + 1}$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{4 x + 1}] + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x + 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x + 1$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x + 1$ .

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (4 + \frac{d}{d x} [1])) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} (4 + 0)) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Some $4$ e $0$ .

$3 (x^{2} (e^{4 x + 1} \cdot 4) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.6.2

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x + 1}$ .

$3 (x^{2} (4 \cdot e^{4 x + 1}) + e^{4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (x^{2} (4 e^{4 x + 1}) + e^{4 x + 1} (2 x))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x^{2} (4 e^{4 x + 1})) + 3 (e^{4 x + 1} (2 x))$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 (x^{2} (e^{4 x + 1})) + 3 (e^{4 x + 1} (2 x))$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$12 x^{2} e^{4 x + 1} + 6 e^{4 x + 1} x$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$12 e^{4 x + 1} x^{2} + 6 e^{4 x + 1} x$

Etapa 5.4

Reordene os fatores em $12 e^{4 x + 1} x^{2} + 6 e^{4 x + 1} x$ .

$12 x^{2} e^{4 x + 1} + 6 x e^{4 x + 1}$