Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \ln (x^{2} - 3 x + 4)$

Etapa 1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \ln (x^{2} - 3 x + 4)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 3 x + 4)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 3 x + 4)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 3 x + 4$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 3 x + 4$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 4])$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 4])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 3 x + 4$ .

$2 (\frac{1}{x^{2} - 3 x + 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 4])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 4}$ e $2$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 4]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.6

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 3.7

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} (2 x - 3 + 0)$

Etapa 3.8

Some $2 x - 3$ e $0$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} (2 x - 3)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os fatores de $\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4} (2 x - 3)$ .

$(2 x - 3) \frac{2}{x^{2} - 3 x + 4}$

Etapa 4.2

Multiplique $2 x - 3$ por $\frac{2}{x^{2} - 3 x + 4}$ .

$\frac{(2 x - 3) \cdot 2}{x^{2} - 3 x + 4}$

Etapa 4.3

Mova $2$ para a esquerda de $2 x - 3$ .

$\frac{2 (2 x - 3)}{x^{2} - 3 x + 4}$