Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 \sec^{3} (3 x^{2} + 5)$

Etapa 1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sec^{3} (3 x^{2} + 5)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (3 x^{2} + 5)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (3 x^{2} + 5)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sec (3 x^{2} + 5)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (3 x^{2} + 5)$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} + 5)])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} + 5)])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (3 x^{2} + 5)$ .

$4 (3 \sec^{2} (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} + 5)])$

Etapa 3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 (\sec^{2} (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} + 5)])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 3 x^{2} + 5$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x^{2} + 5$ .

$12 \sec^{2} (3 x^{2} + 5) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Etapa 4.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$12 \sec^{2} (3 x^{2} + 5) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x^{2} + 5$ .

$12 \sec^{2} (3 x^{2} + 5) (\sec (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Etapa 5

Eleve $\sec (3 x^{2} + 5)$ à potência de $1$ .

$12 (\sec^{1} (3 x^{2} + 5) \sec^{2} (3 x^{2} + 5)) (\tan (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 {\sec (3 x^{2} + 5)}^{1 + 2} (\tan (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Etapa 7

Some $1$ e $2$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) (\tan (3 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5])$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 11

Multiplique $2$ por $3$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (6 x + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 12

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (6 x + 0)$

Etapa 13

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.1

Some $6 x$ e $0$ .

$12 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) (6 x)$

Etapa 13.2

Multiplique $6$ por $12$ .

$72 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) x$

Etapa 13.3

Reordene os fatores de $72 \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5) x$ .

$72 x \sec^{3} (3 x^{2} + 5) \tan (3 x^{2} + 5)$