Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 e^{x} \cos (x) - \sin (x) \cdot (4 e^{x})$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 e^{x} \cos (x) - \sin (x) \cdot (4 e^{x})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 e^{x} \cos (x)]$ .

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 e^{x} \cos (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Etapa 2.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \cdot (4 e^{x})]$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x) \cdot e^{x}]$

Etapa 3.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \sin (x) e^{x}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) e^{x}]$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x) e^{x}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = e^{x}$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$4 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \cos (x))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (e^{x} (- \sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x} + e^{x} \cos (x))$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (e^{x} (- \sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x}) - 4 (e^{x} \cos (x))$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 (e^{x} (\sin (x))) + 4 (\cos (x) e^{x}) - 4 (\sin (x) e^{x}) - 4 (e^{x} \cos (x))$

Etapa 4.3.2

Subtraia $4 \sin (x) e^{x}$ de $- 4 e^{x} \sin (x)$ .

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Etapa 4.3.2.1

Mova $\sin (x)$ .

$- 4 e^{x} \sin (x) - 4 e^{x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{x} - 4 e^{x} \cos (x)$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $4 e^{x} \sin (x)$ de $- 4 e^{x} \sin (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{x} - 4 e^{x} \cos (x)$

Etapa 4.3.3

Subtraia $4 e^{x} \cos (x)$ de $4 \cos (x) e^{x}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Mova $\cos (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 4 e^{x} \cos (x) - 4 e^{x} \cos (x)$

Etapa 4.3.3.2

Subtraia $4 e^{x} \cos (x)$ de $4 e^{x} \cos (x)$ .

$- 8 e^{x} \sin (x) + 0$

Etapa 4.3.4

Some $- 8 e^{x} \sin (x)$ e $0$ .

$- 8 e^{x} \sin (x)$