Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 \ln (x) + \ln (x^{6}) + 8 e^{x}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 \ln (x) + \ln (x^{6}) + 8 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \ln (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{6}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{6}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{6}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{6}} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 3.3

Combine $6$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x^{6}} x^{5} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 3.4

Combine $\frac{6}{x^{6}}$ e $x^{5}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6 x^{5}}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x^{6}$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $x^{5}$ de $6 x^{5}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{6}} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.2.1

Fatore $x^{5}$ de $x^{6}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{x} + \frac{x^{5} \cdot 6}{x^{5} x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + \frac{d}{d x} [8 e^{x}]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Etapa 4.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 e^{x}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{4}{x} + \frac{6}{x} + 8 e^{x}$

Etapa 5

Combine os termos.

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Etapa 5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 + 6}{x} + 8 e^{x}$

Etapa 5.2

Some $4$ e $6$ .

$\frac{10}{x} + 8 e^{x}$