Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x \ln (3 x) - 5 x$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x \ln (3 x) - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x \ln (3 x)]$ .

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Etapa 2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x \ln (3 x)$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (3 x)$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$5 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$5 (x (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$5 (x (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.8

Combine $\frac{1}{3 x}$ e $3$ .

$5 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.9

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.9.1

Cancele o fator comum.

$5 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.9.2

Reescreva a expressão.

$5 (x \frac{1}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.10

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$5 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.11

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.11.1

Cancele o fator comum.

$5 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.11.2

Reescreva a expressão.

$5 (1 + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.12

Multiplique $\ln (3 x)$ por $1$ .

$5 (1 + \ln (3 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (1 + \ln (3 x)) - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (1 + \ln (3 x)) - 5 \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$5 (1 + \ln (3 x)) - 5$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \cdot 1 + 5 \ln (3 x) - 5$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + 5 \ln (3 x) - 5$

Etapa 4.2.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$5 \ln (3 x) + 0$

Etapa 4.2.3

Some $5 \ln (3 x)$ e $0$ .

$5 \ln (3 x)$