Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{24 x + 10}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 24 x + 10$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [24 x + 10] - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $24 x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $24$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (24 + \frac{d}{d x} [10]) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (24 + 0) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $24$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 24 - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $24$ para a esquerda de $x^{2} + 1$ .

$\frac{24 \cdot (x^{2} + 1) - (24 x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - (24 x + 10) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{24 (x^{2} + 1) - 2 (24 x + 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 - 2 (24 x + 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 + (- 2 (24 x) - 2 \cdot 10) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{24 x^{2} + 24 \cdot 1 - 2 (24 x) x - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1

Multiplique $24$ por $1$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 x) x - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 (x \cdot x)) - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 2 (24 x^{2}) - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3

Multiplique $24$ por $- 2$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 48 x^{2} - 2 \cdot 10 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.4

Multiplique $- 2$ por $10$ .

$\frac{24 x^{2} + 24 - 48 x^{2} - 20 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Subtraia $48 x^{2}$ de $24 x^{2}$ .

$\frac{- 24 x^{2} + 24 - 20 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$\frac{- 24 x^{2} - 20 x + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1

Fatore $4$ de $- 24 x^{2} - 20 x + 24$ .

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Etapa 3.6.1.1

Fatore $4$ de $- 24 x^{2}$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2}) - 20 x + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.1.2

Fatore $4$ de $- 20 x$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x) + 24}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.1.3

Fatore $4$ de $24$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x) + 4 (6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.1.4

Fatore $4$ de $4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 5 x)$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 x) + 4 (6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.1.5

Fatore $4$ de $4 (- 6 x^{2} - 5 x) + 4 (6)$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.6.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 6 \cdot 6 = - 36$ e cuja soma é $b = - 5$ .

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Etapa 3.6.2.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 x$ .

$\frac{4 (- 6 x^{2} - 5 (x) + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2.1.2

Reescreva $- 5$ como $4$ mais $- 9$

$\frac{4 (- 6 x^{2} + (4 - 9) x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (- 6 x^{2} + 4 x - 9 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.6.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{4 ((- 6 x^{2} + 4 x) - 9 x + 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{4 (2 x (- 3 x + 2) + 3 (- 3 x + 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 3 x + 2$ .

$\frac{4 ((- 3 x + 2) (2 x + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{4 (- 3 x + 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.7

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{4 (- (3 x) + 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.8

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (3 x) - 1 (- 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.9

Fatore $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.10

Reescreva $- (3 x - 2)$ como $- 1 (3 x - 2)$ .

$\frac{4 (- 1 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(4 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.12

Reordene os fatores em $- \frac{(4 (3 x - 2)) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{4 (3 x - 2) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$