Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3 x - 4}{x^{3}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x - 4$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{x^{3} (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.6

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{3} (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.7.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.7.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot x^{3} - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{3 x^{3} - (3 x - 4) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 2.9

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x - 4) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{3} + (- 3 (3 x) - 3 \cdot - 4) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x) x^{2} - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 (x^{2} x)) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.3.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 (x^{2} x^{1})) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x^{2 + 1}) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.3.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x^{3}) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$\frac{3 x^{3} - 9 x^{3} - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 4$ .

$\frac{3 x^{3} - 9 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.3.2

Subtraia $9 x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{- 6 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.4

Fatore $6 x^{2}$ de $- 6 x^{3} + 12 x^{2}$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $6 x^{2}$ de $- 6 x^{3}$ .

$\frac{6 x^{2} (- x) + 12 x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.4.2

Fatore $6 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} (- x) + 6 x^{2} (2)}{x^{6}}$

Etapa 3.4.3

Fatore $6 x^{2}$ de $6 x^{2} (- x) + 6 x^{2} (2)$ .

$\frac{6 x^{2} (- x + 2)}{x^{6}}$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{6}$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $x^{2}$ de $6 x^{2} (- x + 2)$ .

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{6}}$

Etapa 3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6 (- x + 2)}{x^{4}}$

Etapa 3.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{6 (- (x) + 2)}{x^{4}}$

Etapa 3.7

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{6 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{4}}$

Etapa 3.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{6 (- (x - 2))}{x^{4}}$

Etapa 3.9

Reescreva $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{6 (- 1 (x - 2))}{x^{4}}$

Etapa 3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6 (x - 2)}{x^{4}}$