Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x + 1}{(3 x - 1) (2 x + 5)} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{3 x - 1}$

Etapa 1.1.2

$\frac{A}{3 x - 1} + \frac{B}{2 x + 5}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(3 x - 1) (2 x + 5)$ .

$\frac{(2 x + 1) (3 x - 1) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $3 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x + 1) (3 x - 1) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 5} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $2 x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x + 1) (2 x + 5)}{2 x + 5} = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Etapa 1.1.5.2

Divida $2 x + 1$ por $1$ .

$2 x + 1 = \frac{(A) (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Etapa 1.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum de $3 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$2 x + 1 = \frac{A (3 x - 1) (2 x + 5)}{3 x - 1} + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Etapa 1.1.6.1.2

Divida $(A) (2 x + 5)$ por $1$ .

$2 x + 1 = (A) (2 x + 5) + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 1 = A (2 x) + A \cdot 5 + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Etapa 1.1.6.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x + 1 = 2 A x + A \cdot 5 + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Etapa 1.1.6.4

Mova $5$ para a esquerda de $A$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 \cdot A + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Etapa 1.1.6.5

Cancele o fator comum de $2 x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.5.1

Cancele o fator comum.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + \frac{(B) (3 x - 1) (2 x + 5)}{2 x + 5}$

Etapa 1.1.6.5.2

Divida $(B) (3 x - 1)$ por $1$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + (B) (3 x - 1)$

Etapa 1.1.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + B (3 x) + B \cdot - 1$

Etapa 1.1.6.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x + B \cdot - 1$

Etapa 1.1.6.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $B$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x - 1 \cdot B$

Etapa 1.1.6.9

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$2 x + 1 = 2 A x + 5 A + 3 B x - B$

Etapa 1.1.7

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Mova $A$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 5 A + 3 B x - B$

Etapa 1.1.7.2

Mova $B$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 5 A + 3 x B - B$

Etapa 1.1.7.3

Mova $5 A$ .

$2 x + 1 = 2 x A + 3 x B + 5 A - B$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = 2 A + 3 B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 5 A - 1 B$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$2 = 2 A + 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

$2 = 2 A + 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $2 = 2 A + 3 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $2 A + 3 B = 2$ .

$2 A + 3 B = 2$

$1 = 5 A - 1 B$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $3 B$ dos dois lados da equação.

$2 A = 2 - 3 B$

$1 = 5 A - 1 B$

Etapa 1.3.1.3

Divida cada termo em $2 A = 2 - 3 B$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.1

Divida cada termo em $2 A = 2 - 3 B$ por $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Etapa 1.3.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 A}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Etapa 1.3.1.3.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = \frac{2}{2} + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Etapa 1.3.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.3.1.1

Divida $2$ por $2$ .

$A = 1 + \frac{- 3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Etapa 1.3.1.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 A - 1 B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - \frac{3 B}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = 5 A - 1 B$ por $1 - \frac{3 B}{2}$ .

$1 = 5 (1 - \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique $5 (1 - \frac{3 B}{2}) - 1 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = 5 \cdot 1 + 5 (- \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$1 = 5 + 5 (- \frac{3 B}{2}) - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3

Multiplique $5 (- \frac{3 B}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$1 = 5 - 5 \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3.2

Combine $- 5$ e $\frac{3 B}{2}$ .

$1 = 5 + \frac{- 5 (3 B)}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$1 = 5 + \frac{- 15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{- 15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - 1 B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.1.5

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Para escrever $- B$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} - B \cdot \frac{2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.3.1

Combine $- B$ e $\frac{2}{2}$ .

$1 = 5 - \frac{15 B}{2} + \frac{- B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 = 5 + \frac{- 15 B - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{- 15 B - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.4.1.1

Fatore $B$ de $- 15 B - B \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.4.1.1.1

Fatore $B$ de $- 15 B$ .

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 15 - B \cdot 2}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.4.1.1.2

Fatore $B$ de $- B \cdot 2$ .

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 15 + B (- 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.4.1.1.3

Fatore $B$ de $B \cdot - 15 + B (- 1 \cdot 2)$ .

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1 = 5 + \frac{B (- 15 - 2)}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.4.1.3

Subtraia $2$ de $- 15$ .

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 17}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 + \frac{B \cdot - 17}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.4.2

Mova $- 17$ para a esquerda de $B$ .

$1 = 5 + \frac{- 17 \cdot B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.2.2.1.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$1 = 5 - \frac{17 B}{2}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $1 = 5 - \frac{17 B}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $5 - \frac{17 B}{2} = 1$ .

$5 - \frac{17 B}{2} = 1$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- \frac{17 B}{2} = 1 - 5$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.3.2.2

Subtraia $5$ de $1$ .

$- \frac{17 B}{2} = - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$- \frac{17 B}{2} = - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique os dois lados da equação por $- \frac{2}{17}$ .

$- \frac{2}{17} \cdot (- \frac{17 B}{2}) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.3.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.4.1.1

Simplifique $- \frac{2}{17} (- \frac{17 B}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.4.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.4.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{17}$ para o numerador.

$\frac{- 2}{17} \cdot (- \frac{17 B}{2}) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.3.4.1.1.1.2

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{17 B}{2}$ para o numerador.

$\frac{- 2}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.3.4.1.1.1.3

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.3.4.1.1.1.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{17} \cdot \frac{- 17 B}{2} = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.3.4.1.1.1.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{17} \cdot (- 17 B) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$\frac{- 1}{17} \cdot (- 17 B) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.3.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $17$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.4.1.1.2.1

Fatore $17$ de $- 17 B$ .

$\frac{- 1}{17} \cdot (17 (- B)) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.3.4.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{17} \cdot (17 (- B)) = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.3.4.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.3.4.1.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.4.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.3.4.1.1.3.2

Multiplique $B$ por $1$ .

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = - \frac{2}{17} \cdot - 4$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.4.2.1

Multiplique $- \frac{2}{17} \cdot - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.4.2.1.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$B = 4 (\frac{2}{17})$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.3.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{2}{17}$ .

$B = \frac{4 \cdot 2}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.3.4.2.1.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{3 B}{2}$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{8}{17}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - \frac{3 B}{2}$ por $\frac{8}{17}$ .

$A = 1 - \frac{3 (\frac{8}{17})}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $1 - \frac{3 (\frac{8}{17})}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1.1

Combine $3$ e $\frac{8}{17}$ .

$A = 1 - \frac{\frac{3 \cdot 8}{17}}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Etapa 1.3.4.2.1.1.2

Multiplique $3$ por $8$ .

$A = 1 - \frac{\frac{24}{17}}{2}$

$B = \frac{8}{17}$

Etapa 1.3.4.2.1.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$A = 1 - (\frac{24}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Etapa 1.3.4.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1.4.1

Fatore $2$ de $24$ .

$A = 1 - (\frac{2 (12)}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Etapa 1.3.4.2.1.1.4.2

Cancele o fator comum.

$A = 1 - (\frac{2 \cdot 12}{17} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{8}{17}$

Etapa 1.3.4.2.1.1.4.3

Reescreva a expressão.

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = 1 - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{17}{17} - \frac{12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Etapa 1.3.4.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{17 - 12}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Etapa 1.3.4.2.1.2.3

Subtraia $12$ de $17$ .

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

$A = \frac{5}{17}$

$B = \frac{8}{17}$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{5}{17}, B = \frac{8}{17}$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{3 x - 1} + \frac{B}{2 x + 5}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{5}{17}}{3 x - 1} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{5}{17} \cdot \frac{1}{3 x - 1} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{5}{17}$ por $\frac{1}{3 x - 1}$ .

$\frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{\frac{8}{17}}{2 x + 5}$

Etapa 1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{8}{17} \cdot \frac{1}{2 x + 5}$

Etapa 1.5.4

Multiplique $\frac{8}{17}$ por $\frac{1}{2 x + 5}$ .

$\int \frac{5}{17 (3 x - 1)} + \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{5}{17 (3 x - 1)} d x + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Etapa 3

Como $\frac{5}{17}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{5}{17}$ para fora da integral.

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{3 x - 1} d x + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = 3 x - 1$ . Depois, $d u_{1} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = 3 x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Etapa 5.2

Mova $3$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\frac{5}{17} \int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{5}{17} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{5}{17}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Etapa 7.2

Multiplique $3$ por $17$ .

$\frac{5}{51} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{8}{17 (2 x + 5)} d x$

Etapa 9

Como $\frac{8}{17}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{8}{17}$ para fora da integral.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{2 x + 5} d x$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = 2 x + 5$ . Depois, $d u_{2} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = 2 x + 5$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Etapa 10.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 10.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 10.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 10.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 10.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 10.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 10.1.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 10.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 11.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{17} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{8}{17}$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 13.2

Multiplique $2$ por $17$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{8}{34} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 13.3

Cancele o fator comum de $8$ e $34$ .

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Etapa 13.3.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 (4)}{34} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 13.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.3.2.1

Fatore $2$ de $34$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 13.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 13.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{17} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{5}{51} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{4}{17} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 15

Simplifique.

$\frac{5}{51} \ln (| u_{1} |) + \frac{4}{17} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 16

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 16.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x - 1$ .

$\frac{5}{51} \ln (| 3 x - 1 |) + \frac{4}{17} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 16.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x + 5$ .

$\frac{5}{51} \ln (| 3 x - 1 |) + \frac{4}{17} \ln (| 2 x + 5 |) + C$