Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{550 x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 12}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 12}$ como ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{550 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2

Como $550$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{550 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $550 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$550 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2

Reescreva a expressão.

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 12)}^{1}}$

Etapa 4

Simplifique.

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 12}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$550 \frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 12}$

Etapa 5.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{2 \cdot {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 12}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 12$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 12$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 12$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Etapa 7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Etapa 8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Etapa 9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Etapa 10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Etapa 11

Combine frações.

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Etapa 11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Etapa 11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Etapa 11.3

Mova ${(x^{2} + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{x^{2} + 12}$

Etapa 11.4

Combine $\frac{1}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12]}{x^{2} + 12}$

Etapa 12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])}{x^{2} + 12}$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [12])}{x^{2} + 12}$

Etapa 14

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 12}$

Etapa 15

Combine frações.

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Etapa 15.1

Some $2 x$ e $0$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 12}$

Etapa 15.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - 2 \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 12}$

Etapa 15.3

Combine $- 2$ e $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 12}$

Etapa 15.4

Combine $\frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2} x}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Etapa 16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Etapa 17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Etapa 18

Some $1$ e $2$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Etapa 19

Fatore $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Etapa 20

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 20.1

Fatore $2$ de $2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 ({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 12}$

Etapa 20.2

Cancele o fator comum.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Etapa 20.3

Reescreva a expressão.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Etapa 21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$550 \frac{2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Etapa 22

Combine $2 {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} x$ e $- \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ usando um denominador comum.

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Etapa 22.1

Mova ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Etapa 22.2

Para escrever $2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Etapa 22.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Etapa 23

Multiplique ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 23.1

Mova ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$550 \frac{\frac{2 x ({(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Etapa 23.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Etapa 23.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Etapa 23.4

Some $1$ e $1$ .

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{\frac{2}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Etapa 23.5

Divida $2$ por $2$ .

$550 \frac{\frac{2 x {(x^{2} + 12)}^{1} - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Etapa 24

Simplifique $2 x {(x^{2} + 12)}^{1}$ .

$550 \frac{\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$

Etapa 25

Reescreva $\frac{\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 12}$ como um produto.

$550 (\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 12})$

Etapa 26

Multiplique $\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} + 12}$ .

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 12)}$

Etapa 27

Multiplique ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 12$ somando os expoentes.

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Etapa 27.1

Multiplique ${(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 12$ .

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Etapa 27.1.1

Eleve $x^{2} + 12$ à potência de $1$ .

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 12)}^{1}}$

Etapa 27.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 27.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 27.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 27.4

Some $1$ e $2$ .

$550 \frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 28

Combine $550$ e $\frac{2 x (x^{2} + 12) - x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{550 (2 x (x^{2} + 12) - x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29

Simplifique.

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Etapa 29.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{550 (2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 12 - x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{550 (2 x \cdot x^{2}) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 29.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 29.3.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 29.3.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{550 (2 (x^{2} x)) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.3.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 29.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{550 (2 (x^{2} x^{1})) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{550 (2 x^{2 + 1}) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.3.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{550 (2 x^{3}) + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.3.1.2

Multiplique $2$ por $550$ .

$\frac{1100 x^{3} + 550 (2 x \cdot 12) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.3.1.3

Multiplique $12$ por $2$ .

$\frac{1100 x^{3} + 550 (24 x) + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.3.1.4

Multiplique $24$ por $550$ .

$\frac{1100 x^{3} + 13200 x + 550 (- x^{3})}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $550$ .

$\frac{1100 x^{3} + 13200 x - 550 x^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.3.2

Subtraia $550 x^{3}$ de $1100 x^{3}$ .

$\frac{550 x^{3} + 13200 x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.4

Fatore $550 x$ de $550 x^{3} + 13200 x$ .

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Etapa 29.4.1

Fatore $550 x$ de $550 x^{3}$ .

$\frac{550 x (x^{2}) + 13200 x}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.4.2

Fatore $550 x$ de $13200 x$ .

$\frac{550 x (x^{2}) + 550 x (24)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 29.4.3

Fatore $550 x$ de $550 x (x^{2}) + 550 x (24)$ .

$\frac{550 x (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 12)}^{\frac{3}{2}}}$