Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4 x - 8}{5 x^{4}}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x - 8}{5 x^{4}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{4 x - 8}{x^{4}}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{4 x - 8}{x^{4}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 4 x - 8$ e $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 8] - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 8] - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 8] - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 3.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} (4 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 3.6

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} (4 + 0) - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.7.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{4} \cdot 4 - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 3.7.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 \cdot x^{4} - (4 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 x^{4} - (4 x - 8) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 3.9

Combine frações.

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Etapa 3.9.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 x^{4} - 4 (4 x - 8) x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 3.9.2

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{4 x^{4} - 4 (4 x - 8) x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{4 x^{4} - 4 (4 x - 8) x^{3}}{5 x^{8}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{4} + (- 4 (4 x) - 4 \cdot - 8) x^{3}}{5 x^{8}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{4} - 4 (4 x) x^{3} - 4 \cdot - 8 x^{3}}{5 x^{8}}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} - 4 (4 (x^{3} x)) - 4 \cdot - 8 x^{3}}{5 x^{8}}$

Etapa 4.3.1.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 4.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 x^{4} - 4 (4 (x^{3} x^{1})) - 4 \cdot - 8 x^{3}}{5 x^{8}}$

Etapa 4.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{4} - 4 (4 x^{3 + 1}) - 4 \cdot - 8 x^{3}}{5 x^{8}}$

Etapa 4.3.1.1.3

Some $3$ e $1$ .

$\frac{4 x^{4} - 4 (4 x^{4}) - 4 \cdot - 8 x^{3}}{5 x^{8}}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$\frac{4 x^{4} - 16 x^{4} - 4 \cdot - 8 x^{3}}{5 x^{8}}$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$\frac{4 x^{4} - 16 x^{4} + 32 x^{3}}{5 x^{8}}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $16 x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$\frac{- 12 x^{4} + 32 x^{3}}{5 x^{8}}$

Etapa 4.4

Fatore $4 x^{3}$ de $- 12 x^{4} + 32 x^{3}$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $4 x^{3}$ de $- 12 x^{4}$ .

$\frac{4 x^{3} (- 3 x) + 32 x^{3}}{5 x^{8}}$

Etapa 4.4.2

Fatore $4 x^{3}$ de $32 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} (- 3 x) + 4 x^{3} (8)}{5 x^{8}}$

Etapa 4.4.3

Fatore $4 x^{3}$ de $4 x^{3} (- 3 x) + 4 x^{3} (8)$ .

$\frac{4 x^{3} (- 3 x + 8)}{5 x^{8}}$

Etapa 4.5

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{8}$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $x^{3}$ de $4 x^{3} (- 3 x + 8)$ .

$\frac{x^{3} (4 (- 3 x + 8))}{5 x^{8}}$

Etapa 4.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.5.2.1

Fatore $x^{3}$ de $5 x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (4 (- 3 x + 8))}{x^{3} (5 x^{5})}$

Etapa 4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} (4 (- 3 x + 8))}{x^{3} (5 x^{5})}$

Etapa 4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (- 3 x + 8)}{5 x^{5}}$

Etapa 4.6

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{4 (- (3 x) + 8)}{5 x^{5}}$

Etapa 4.7

Reescreva $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$\frac{4 (- (3 x) - 1 (- 8))}{5 x^{5}}$

Etapa 4.8

Fatore $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{4 (- (3 x - 8))}{5 x^{5}}$

Etapa 4.9

Reescreva $- (3 x - 8)$ como $- 1 (3 x - 8)$ .

$\frac{4 (- 1 (3 x - 8))}{5 x^{5}}$

Etapa 4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 (3 x - 8)}{5 x^{5}}$