Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

Etapa 1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 + \cos (x)$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 4.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 5

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6

Multiplique.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 7

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 8

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 10

Some $1$ e $1$ .

$4 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 11

Combine $4$ e $\frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{4 ((3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (3 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (3 \cos (x)) + 4 (\cos (x) \cos (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.3.1.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos (x) \cos (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12.3.1.2

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 12.3.1.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12.3.1.2.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12.3.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{12 \cos (x) + 4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12.3.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 \cos^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12.3.2

Fatore $4$ de $4 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{2} (x)) + 4 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12.3.3

Fatore $4$ de $4 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12.3.4

Fatore $4$ de $4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12.3.5

Reorganize os termos.

$\frac{12 \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12.3.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{12 \cos (x) + 4 \cdot 1}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12.3.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{12 \cos (x) + 4}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12.4

Reordene os termos.

$\frac{4 + 12 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12.5

Fatore $4$ de $4 + 12 \cos (x)$ .

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Etapa 12.5.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (1) + 12 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12.5.2

Fatore $4$ de $12 \cos (x)$ .

$\frac{4 (1) + 4 (3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 12.5.3

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (3 \cos (x))$ .

$\frac{4 (1 + 3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$