Cálculo Exemplos

$x^{2} - x - \ln (x)$

Etapa 1

Escreva $x^{2} - x - \ln (x)$ como uma função.

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.1.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Etapa 2.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x, 1, 1$

Etapa 3.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ por $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.1

Mova $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x}$ para o numerador.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $0$ por $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.4.1.1

Reordene os termos.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Etapa 3.4.1.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 3.4.1.2.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Etapa 3.4.1.2.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Etapa 3.4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Etapa 3.4.1.2.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Etapa 3.4.1.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Etapa 3.4.1.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Etapa 3.4.1.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 3.4.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 3.4.3

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 3.4.3.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 3.4.3.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.4.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.4.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.4.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 3.4.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.4.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3.4.5

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- \frac{1}{2}, 1$ .

$- \frac{1}{2}, 1$

Etapa 5

Defina o denominador em $\frac{1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 6

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 7

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(- 0.5, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.25$ na expressão.

$f' (- 0.25) = 2 (- 0.25) - \frac{1}{- 0.25} - 1$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 - \frac{1}{- 0.25} - 1$

Etapa 8.2.1.2

Divida $1$ por $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Some $- 0.5$ e $4$ .

$f' (- 0.25) = 3.5 - 1$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $1$ de $3.5$ .

$f' (- 0.25) = 2.5$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $2.5$ .

$2.5$

Etapa 9

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(0, 1)$

Etapa 10

Substitua um valor do intervalo $(0, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Etapa 10.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Etapa 10.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2) - 1$

Etapa 10.2.1.3

Multiplique $- (1 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 1 \cdot 2 - 1$

Etapa 10.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 2 - 1$

Etapa 10.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 10.2.2.1

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 - 1$

Etapa 10.2.2.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 2$

Etapa 10.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 10.3

Em $x = \frac{1}{2}$ , a derivada é $- 2$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 1)$ .

Decréscimo em $(0, 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 11

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(0, 1), (1, \infty)$

Etapa 12

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 2 (2) - \frac{1}{2} - 1$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (2) = 4 - \frac{1}{2} - 1$

Etapa 12.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Escreva $4$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} - \frac{1}{2} - 1$

Etapa 12.2.2.2

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

Etapa 12.2.2.3

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

Etapa 12.2.2.4

Escreva $- 1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

Etapa 12.2.2.5

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 12.2.2.6

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 12.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 12.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.4.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 12.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 2}{2}$

Etapa 12.2.5

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.1

Subtraia $1$ de $8$ .

$f' (2) = \frac{7 - 2}{2}$

Etapa 12.2.5.2

Subtraia $2$ de $7$ .

$f' (2) = \frac{5}{2}$

Etapa 12.2.6

A resposta final é $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Etapa 12.3

Em $x = 2$ , a derivada é $\frac{5}{2}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 13

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(1, \infty)$

Decréscimo em: $(0, 1)$

Etapa 14