Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln ({(x^{4} + 1)}^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x^{4} + 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x^{4} + 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x^{4} + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{4} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{4} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $2$ e $\frac{1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + 0))$

Etapa 3.5

Combine frações.

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Etapa 3.5.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) (4 x^{3}))$

Etapa 3.5.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{4} + 1$ .

$\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (4 \cdot (x^{4} + 1) x^{3})$

Etapa 3.5.3

Combine $4$ e $\frac{2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) x^{3})$

Etapa 3.5.4

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8}{{(x^{4} + 1)}^{2}} ((x^{4} + 1) x^{3})$

Etapa 3.5.5

Combine $x^{3}$ e $\frac{8}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$

Etapa 3.5.6

Mova $8$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$\frac{8 \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os fatores de $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}} (x^{4} + 1)$ .

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{4} + 1$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $x^{4} + 1$ de ${(x^{4} + 1)}^{2}$ .

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum.

$(x^{4} + 1) \frac{8 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)}$

Etapa 4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8 x^{3}}{x^{4} + 1}$