Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{9 + x}{1 - 9 x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 9 + x$ e $g (x) = 1 - 9 x$ .

$\frac{(1 - 9 x) \frac{d}{d x} [9 + x] - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - 9 x) (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [x]) - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 - 9 x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - 9 x) \frac{d}{d x} [x] - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(1 - 9 x) \cdot 1 - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 2.5

Multiplique $1 - 9 x$ por $1$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) \frac{d}{d x} [1 - 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 9 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 2.8

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) \frac{d}{d x} [- 9 x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 2.9

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - 9 x - (9 + x) (- 9 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 2.10

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$\frac{1 - 9 x + 9 (9 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1 - 9 x + 9 (9 + x) \cdot 1}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 2.12

Multiplique $9$ por $1$ .

$\frac{1 - 9 x + 9 (9 + x)}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 - 9 x + 9 \cdot 9 + 9 x}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Combine os termos opostos em $1 - 9 x + 9 \cdot 9 + 9 x$ .

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Etapa 3.2.1.1

Some $- 9 x$ e $9 x$ .

$\frac{1 + 9 \cdot 9 + 0}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Some $1 + 9 \cdot 9$ e $0$ .

$\frac{1 + 9 \cdot 9}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $9$ por $9$ .

$\frac{1 + 81}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $1$ e $81$ .

$\frac{82}{{(1 - 9 x)}^{2}}$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$\frac{82}{{(- 9 x + 1)}^{2}}$