Cálculo Exemplos

$f (x) = \cot^{3} (\sqrt{x})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cot^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cot (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cot (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cot (x^{\frac{1}{2}})$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\cot (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.2

A derivada de $\cot (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 11

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 3$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3}{2} \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 12

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3}{2}$ e $\cot^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 13

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ e $\csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 14

Simplifique a expressão.

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Etapa 14.1

Mova $- 3$ para a esquerda de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 14.2

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 \cot^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$