Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\cos (8 x) - 1}{\sin (9 x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \cos (8 x) - 1$ e $g (x) = \sin (9 x)$ .

$\frac{\sin (9 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x) - 1] - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (8 x) - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\sin (9 x) (\frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $8 x$ .

$\frac{\sin (9 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 3.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$\frac{\sin (9 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $8 x$ .

$\frac{\sin (9 x) (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (9 x) (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 4.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 4.4

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 4.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x) + 0) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 4.6

Some $- 8 \sin (8 x)$ e $0$ .

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 9 x$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $9 x$ .

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 5.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $9 x$ .

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) (\cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - (\cos (8 x) - 1) \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 6.2

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - 9 (\cos (8 x) - 1) \cos (9 x) \frac{d}{d x} [x]}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - 9 (\cos (8 x) - 1) \cos (9 x) \cdot 1}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 6.4

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - 9 (\cos (8 x) - 1) \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) + (- 9 \cos (8 x) - 9 \cdot - 1) \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (9 x) (- 8 \sin (8 x)) - 9 \cos (8 x) \cos (9 x) - 9 \cdot - 1 \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 7.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 8 \sin (9 x) \sin (8 x) - 9 \cos (8 x) \cos (9 x) - 9 \cdot - 1 \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$\frac{- 8 \sin (9 x) \sin (8 x) - 9 \cos (8 x) \cos (9 x) + 9 \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$

Etapa 7.4

Reordene os termos.

$\frac{- 8 \sin (8 x) \sin (9 x) - 9 \cos (8 x) \cos (9 x) + 9 \cos (9 x)}{\sin^{2} (9 x)}$