Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{7 x}{4 - \tan (x)}$

Etapa 1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{7 x}{4 - \tan (x)}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 - \tan (x)}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 - \tan (x)}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 4 - \tan (x)$ .

$7 \frac{(4 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [4 - \tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \frac{(4 - \tan (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [4 - \tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $4 - \tan (x)$ por $1$ .

$7 \frac{4 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [4 - \tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$7 \frac{4 - \tan (x) - x (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 \frac{4 - \tan (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$7 \frac{4 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \tan (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$7 \frac{4 - \tan (x) - x (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.7

Multiplique.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$7 \frac{4 - \tan (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$7 \frac{4 - \tan (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 4

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$7 \frac{4 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 5

Combine $7$ e $\frac{4 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$ .

$\frac{7 (4 - \tan (x) + x \sec^{2} (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 \cdot 4 + 7 (- \tan (x)) + 7 (x \sec^{2} (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $7$ por $4$ .

$\frac{28 + 7 (- \tan (x)) + 7 (x \sec^{2} (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$\frac{28 - 7 \tan (x) + 7 x \sec^{2} (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$\frac{7 x \sec^{2} (x) + 28 - 7 \tan (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6.4

Fatore $7$ de $7 x \sec^{2} (x) + 28 - 7 \tan (x)$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $7$ de $7 x \sec^{2} (x)$ .

$\frac{7 (x \sec^{2} (x)) + 28 - 7 \tan (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6.4.2

Fatore $7$ de $28$ .

$\frac{7 (x \sec^{2} (x)) + 7 (4) - 7 \tan (x)}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6.4.3

Fatore $7$ de $- 7 \tan (x)$ .

$\frac{7 (x \sec^{2} (x)) + 7 (4) + 7 (- \tan (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6.4.4

Fatore $7$ de $7 (x \sec^{2} (x)) + 7 (4)$ .

$\frac{7 (x \sec^{2} (x) + 4) + 7 (- \tan (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 6.4.5

Fatore $7$ de $7 (x \sec^{2} (x) + 4) + 7 (- \tan (x))$ .

$\frac{7 (x \sec^{2} (x) + 4 - \tan (x))}{{(4 - \tan (x))}^{2}}$