Cálculo Exemplos

$f (x) = \log_{6} (\sqrt{x^{2} + 1})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{6} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log_{6} (x)$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{6} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\log_{6} (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1} \ln (6)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 10

Mova ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 11

Multiplique $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6)}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (6))} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 13

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 13.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 14

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 14.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{1} \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 15

Simplifique.

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 16

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 17

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 18

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} (2 x + 0)$

Etapa 19

Simplifique os termos.

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Etapa 19.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} (2 x)$

Etapa 19.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)} x$

Etapa 19.3

Combine $\frac{2}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)}$

Etapa 19.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 19.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2 (x^{2} + 1) \ln (6)}$

Etapa 19.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{(x^{2} + 1) \ln (6)}$

Etapa 20

Simplifique.

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Etapa 20.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x}{x^{2} \ln (6) + 1 \ln (6)}$

Etapa 20.2

Multiplique $\ln (6)$ por $1$ .

$\frac{x}{x^{2} \ln (6) + \ln (6)}$