Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{\csc (2 x)}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\csc (2 x)}$ como ${\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \csc (2 x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\csc (2 x)$ .

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Etapa 7.3

Mova ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 8.2

A derivada de $\csc (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 9

Combine frações.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\csc (2 x)$ .

$- \frac{\csc (2 x)}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 9.2

Combine $\cot (2 x)$ e $\frac{\csc (2 x)}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{\cot (2 x) \csc (2 x)}{2 {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 9.3

Mova ${\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{\cot (2 x) \csc (2 x) {\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 10

Multiplique $\csc (2 x)$ por ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 10.1

Mova ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\cot (2 x) ({\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \csc (2 x))}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 10.2

Multiplique ${\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ por $\csc (2 x)$ .

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Etapa 10.2.1

Eleve $\csc (2 x)$ à potência de $1$ .

$- \frac{\cot (2 x) ({\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \csc^{1} (2 x))}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 10.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 10.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 10.5

Some $- 1$ e $2$ .

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 11

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12

Simplifique os termos.

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Etapa 12.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 12.2

Combine $- 2$ e $\frac{\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 (\cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 12.3

Fatore $2$ de $- 2 \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 13.4

Divida $- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 15

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 15.2

Reordene os fatores de $- \cot (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}} \cot (2 x)$