Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x y}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x y}$ como ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 7.3

Mova ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 8

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9

Combine $y$ e $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 11

Multiplique $\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Aplique a regra do produto a $x y$ .

$\frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 12.2

Combine os termos.

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Etapa 12.2.1

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.2.2

Multiplique $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.2.2.1

Multiplique $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 12.2.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.2.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$