Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} \sec^{2} (3 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec^{2} (3 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)] + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (3 x)$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (3 x)$ .

$x^{2} (2 \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$x^{2} (2 \sec (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$x^{2} (2 \sec (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$x^{2} (2 \sec (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4

Eleve $\sec (3 x)$ à potência de $1$ .

$x^{2} (2 (\sec^{1} (3 x) \sec (3 x)) (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5

Eleve $\sec (3 x)$ à potência de $1$ .

$x^{2} (2 (\sec^{1} (3 x) \sec^{1} (3 x)) (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} (2 {\sec (3 x)}^{1 + 1} (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 7

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} (2 \sec^{2} (3 x) (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (2 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 9

Multiplique $3$ por $2$ .

$x^{2} (6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) \cdot 1) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 11

Multiplique $6$ por $1$ .

$x^{2} (6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)) + \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)) + \sec^{2} (3 x) (2 x)$

Etapa 13

Reordene os termos.

$6 x^{2} \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) + 2 x \sec^{2} (3 x)$