Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} - 4 x + 5} < 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Etapa 2

Fatore $x^{2} - 3 x - 4$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 4, 1$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 1$

Etapa 7

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 8

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = 5$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Etapa 9.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.1.3

Subtraia $20$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 9.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Etapa 9.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Etapa 10

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 10.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Etapa 10.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.1.3

Subtraia $20$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Etapa 10.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Etapa 10.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 2 + i$

Etapa 11

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Etapa 11.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.1.3

Subtraia $20$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Etapa 11.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Etapa 11.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 2 - i$

Etapa 12

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 2 + i, 2 - i$

Etapa 13

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 4, - 1$

$x = 2 + i, 2 - i$

Etapa 14

Consolide as soluções.

$x = 4, - 1$

Etapa 15

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 16

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 16.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 16.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 - 4}{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 5} < 0$

Etapa 16.1.3

O lado esquerdo $0.\overline{648}$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 16.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 16.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 5} < 0$

Etapa 16.2.3

O lado esquerdo $- 0.8$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 16.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 16.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 16.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 4}{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6 + 5} < 0$

Etapa 16.3.3

O lado esquerdo $0.82352941$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 16.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 17

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 < x < 4$

Etapa 18

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 1, 4)$

Etapa 19