Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$ , $x = 2$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \sqrt{{(x + h)}^{2} + 5}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \sqrt{(x + h) (x + h) + 5}$

Etapa 2.1.2.2

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \sqrt{x (x + h) + h (x + h) + 5}$

Etapa 2.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h (x + h) + 5}$

Etapa 2.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \sqrt{x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 5}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 5}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + x h + h x + h^{2} + 5}$

Etapa 2.1.2.3.2

Some $x h$ e $h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + h x + h x + h^{2} + 5}$

Etapa 2.1.2.3.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

Etapa 2.1.2.4

A resposta final é $\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$ .

$\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

$f (x + h) = \sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5}$

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5} - (\sqrt{x^{2} + 5})}{h}$

Etapa 4

Multiplique $- 1$ por $\sqrt{x^{2} + 5}$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5} - \sqrt{x^{2} + 5}}{h}$

Etapa 5

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + 2 h (2) + h^{2} + 5} - \sqrt{{(2)}^{2} + 5}}{h}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 h \cdot 2 + h^{2} + 5} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 h + h^{2} + 5} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Etapa 6.3

Some $4$ e $5$ .

$\frac{\sqrt{4 h + h^{2} + 9} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Etapa 6.4

Reordene os termos.

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{2^{2} + 5}}{h}$

Etapa 6.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{4 + 5}}{h}$

Etapa 6.6

Some $4$ e $5$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{9}}{h}$

Etapa 6.7

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - \sqrt{3^{2}}}{h}$

Etapa 6.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - 1 \cdot 3}{h}$

Etapa 6.9

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{h^{2} + 4 h + 9} - 3}{h}$

Etapa 7