Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ , $f' (6)$

Etapa 1

Encontre a derivada de $f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ .

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$9 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$9 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.5.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $9 x^{2} - 10 x + 5$ e $0$ .

$9 x^{2} - 10 x + 5$

Etapa 2

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$9 {(6)}^{2} - 10 \cdot 6 + 5$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$9 \cdot 36 - 10 \cdot 6 + 5$

Etapa 3.1.2

Multiplique $9$ por $36$ .

$324 - 10 \cdot 6 + 5$

Etapa 3.1.3

Multiplique $- 10$ por $6$ .

$324 - 60 + 5$

Etapa 3.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $60$ de $324$ .

$264 + 5$

Etapa 3.2.2

Some $264$ e $5$ .

$269$