Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 x^{2}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 6 x^{2}$ como uma equação.

$y = 6 x^{2}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 6 y^{2}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $6 y^{2} = x$ .

$6 y^{2} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $6 y^{2} = x$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $6 y^{2} = x$ por $6$ .

$\frac{6 y^{2}}{6} = \frac{x}{6}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 y^{2}}{6} = \frac{x}{6}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{6}$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{6}}$

Etapa 3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{x}{6}}$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{x}{6}}$ como $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Etapa 3.4.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Etapa 3.4.3.2

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Etapa 3.4.3.3

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Etapa 3.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Etapa 3.4.3.6

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Etapa 3.4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Etapa 3.4.3.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{6}}{6}$

Etapa 3.4.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 6}}{6}$

Etapa 3.4.5

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{x \cdot 6}}{6}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$ é o inverso de $f (x) = 6 x^{2}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 6 x^{2}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 6 x^{2}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{6 x}}{6}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{6 x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$6 x \geq 0$

Etapa 5.3.2

Divida cada termo em $6 x \geq 0$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $6 x \geq 0$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} \geq \frac{0}{6}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} \geq \frac{0}{6}$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{0}{6}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.3.1

Divida $0$ por $6$ .

$x \geq 0$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = 6 x^{2}$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$ é o intervalo de $f (x) = 6 x^{2}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$ é o domínio de $f (x) = 6 x^{2}$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$ é o inverso de $f (x) = 6 x^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{6 x}}{6}, - \frac{\sqrt{6 x}}{6}$

Etapa 6