Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ como uma equação.

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$ .

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados por $1 - e^{y}$ .

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum de $1 - e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + e^{y}}{1 - e^{y}} (1 - e^{y}) = x (1 - e^{y})$

Etapa 3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$1 + e^{y} = x (1 - e^{y})$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique $x (1 - e^{y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + e^{y} = x \cdot 1 + x (- e^{y})$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$1 + e^{y} = x + x (- e^{y})$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 + e^{y} = x - x e^{y}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Some $x e^{y}$ aos dois lados da equação.

$1 + e^{y} + x e^{y} = x$

Etapa 3.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$e^{y} + x e^{y} = x - 1$

Etapa 3.4.3

Fatore $e^{y}$ de $e^{y} + x e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Multiplique por $1$ .

$e^{y} \cdot 1 + x e^{y} = x - 1$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $e^{y}$ de $x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} x = x - 1$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $e^{y}$ de $e^{y} \cdot 1 + e^{y} x$ .

$e^{y} (1 + x) = x - 1$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $e^{y} (1 + x) = x - 1$ por $1 + x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $e^{y} (1 + x) = x - 1$ por $1 + x$ .

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{y} (1 + x)}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $e^{y}$ por $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{y} = \frac{x - 1}{1 + x}$

Etapa 3.4.5

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Etapa 3.4.6

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.6.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Etapa 3.4.6.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Etapa 3.4.6.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ é o inverso de $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Etapa 5.2.3

Remova os parênteses.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Etapa 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - e^{x}$ .

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Etapa 5.2.4.1

Multiplique $\frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}}$ por $\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 - e^{x}}{1 - e^{x}} \cdot \frac{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1}{1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}})$

Etapa 5.2.4.2

Combine.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} - 1)}{(1 - e^{x}) (1 + \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Etapa 5.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Etapa 5.2.6

Simplifique cancelando.

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Etapa 5.2.6.1

Cancele o fator comum de $1 - e^{x}$ .

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Etapa 5.2.6.1.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{(1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Etapa 5.2.6.1.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Etapa 5.2.6.2

Cancele o fator comum de $1 - e^{x}$ .

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Etapa 5.2.6.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + (1 - e^{x}) (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})})$

Etapa 5.2.6.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + (1 - e^{x}) \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Etapa 5.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} + 1 \cdot - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Etapa 5.2.7.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 - e^{x} \cdot - 1}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Etapa 5.2.7.3

Multiplique $- e^{x} \cdot - 1$ .

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Etapa 5.2.7.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + 1 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Etapa 5.2.7.3.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{1 + e^{x} - 1 + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Etapa 5.2.7.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{0 + e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Etapa 5.2.7.5

Some $0$ e $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} + e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Etapa 5.2.7.6

Some $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(1 - e^{x}) \cdot 1 + 1 + e^{x}})$

Etapa 5.2.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.8.1

Multiplique $1 - e^{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 - e^{x} + 1 + e^{x}})$

Etapa 5.2.8.2

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 - e^{x} + e^{x}})$

Etapa 5.2.8.3

Some $- e^{x}$ e $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2 + 0})$

Etapa 5.2.8.4

Some $2$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Etapa 5.2.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Etapa 5.2.9.2

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Etapa 5.2.10

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \ln (e)$

Etapa 5.2.11

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x \cdot 1$

Etapa 5.2.12

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x}))$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{1 + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x + x - 1}{1 + x}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.4

Reordene os termos.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.5

Reescreva $\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.5.1

Some $x$ e $x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.5.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.3.5.3

Some $2 x$ e $0$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - e^{\ln (\frac{x - 1}{1 + x})}}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 - \frac{x - 1}{1 + x}}$

Etapa 5.3.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{x - 1}{1 + x}}$

Etapa 5.3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - (x - 1)}{1 + x}}$

Etapa 5.3.4.4

Reordene os termos.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}}$

Etapa 5.3.4.5

Reescreva $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

Etapa 5.3.4.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}$

Etapa 5.3.4.5.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

Etapa 5.3.4.5.4

Some $0$ e $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

Etapa 5.3.4.5.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Etapa 5.3.6.2

Cancele o fator comum.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Etapa 5.3.6.3

Reescreva a expressão.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 5.3.7.1

Cancele o fator comum.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Etapa 5.3.7.2

Reescreva a expressão.

$f (\ln (\frac{x - 1}{1 + x})) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$ é o inverso de $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x - 1}{1 + x})$