Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ como uma equação.

$y = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$ .

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados por $e^{y} + 1$ .

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{y} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{y} - 1}{e^{y} + 1} (e^{y} + 1) = x (e^{y} + 1)$

Etapa 3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{y} - 1 = x (e^{y} + 1)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique $x (e^{y} + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x \cdot 1$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$e^{y} - 1 = x e^{y} + x$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $x e^{y}$ dos dois lados da equação.

$e^{y} - 1 - x e^{y} = x$

Etapa 3.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$e^{y} - x e^{y} = x + 1$

Etapa 3.4.3

Fatore $e^{y}$ de $e^{y} - x e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Multiplique por $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - x e^{y} = x + 1$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $e^{y}$ de $- x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x) = x + 1$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $e^{y}$ de $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- x)$ .

$e^{y} (1 - x) = x + 1$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $e^{y} (1 - x) = x + 1$ por $1 - x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $e^{y} (1 - x) = x + 1$ por $1 - x$ .

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $e^{y}$ por $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{y} = \frac{x + 1}{1 - x}$

Etapa 3.4.5

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Etapa 3.4.6

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Etapa 3.4.6.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Etapa 3.4.6.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ é o inverso de $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + 1}{1 - (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Etapa 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $e^{x} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $\frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}}$ por $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1}{1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}})$

Etapa 5.2.3.2

Combine.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + 1)}{(e^{x} + 1) (1 - \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Etapa 5.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Etapa 5.2.5

Simplifique cancelando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Cancele o fator comum de $e^{x} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{(e^{x} + 1) (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Etapa 5.2.5.1.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1})})$

Etapa 5.2.5.2

Cancele o fator comum de $e^{x} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ para o numerador.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

Etapa 5.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 + (e^{x} + 1) (\frac{- (e^{x} - 1)}{e^{x} + 1})})$

Etapa 5.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + (e^{x} + 1) \cdot 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Etapa 5.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Multiplique $e^{x} + 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{e^{x} - 1 + e^{x} + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Etapa 5.2.6.2

Some $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} - 1 + 1}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Etapa 5.2.6.3

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x} + 0}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Etapa 5.2.6.4

Some $2 e^{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{(e^{x} + 1) \cdot 1 - (e^{x} - 1)})$

Etapa 5.2.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Multiplique $e^{x} + 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - (e^{x} - 1)})$

Etapa 5.2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

Etapa 5.2.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1 - e^{x} + 1})$

Etapa 5.2.7.4

Subtraia $e^{x}$ de $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{0 + 1 + 1})$

Etapa 5.2.7.5

Some $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{1 + 1})$

Etapa 5.2.7.6

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Etapa 5.2.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x}}{2})$

Etapa 5.2.8.2

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = \ln (e^{x})$

Etapa 5.2.9

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \ln (e)$

Etapa 5.2.10

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x \cdot 1$

Etapa 5.2.11

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x}))$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Etapa 5.3.3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Etapa 5.3.3.3

Combine $- 1$ e $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Etapa 5.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{1 - x}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Etapa 5.3.3.5

Reordene os termos.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Etapa 5.3.3.6

Reescreva $\frac{x + 1 - (1 - x)}{- x + 1}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 \cdot 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Etapa 5.3.3.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Etapa 5.3.3.6.3

Multiplique $- - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.6.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + 1 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Etapa 5.3.3.6.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{x + 1 - 1 + x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Etapa 5.3.3.6.4

Some $x$ e $x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Etapa 5.3.3.6.5

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Etapa 5.3.3.6.6

Some $2 x$ e $0$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{e^{\ln (\frac{x + 1}{1 - x})} + 1}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

Etapa 5.3.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1}{1 - x} + \frac{1 - x}{1 - x}}$

Etapa 5.3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x + 1 + 1 - x}{1 - x}}$

Etapa 5.3.4.4

Reordene os termos.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}}$

Etapa 5.3.4.5

Reescreva $\frac{x - x + 1 + 1}{- x + 1}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.5.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{- x + 1}}$

Etapa 5.3.4.5.2

Some $0$ e $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{1 + 1}{- x + 1}}$

Etapa 5.3.4.5.3

Some $1$ e $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{\frac{2 x}{- x + 1}}{\frac{2}{- x + 1}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 (x)}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Etapa 5.3.6.2

Cancele o fator comum.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{2 x}{- x + 1} \cdot \frac{- x + 1}{2}$

Etapa 5.3.6.3

Reescreva a expressão.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x}{- x + 1} \cdot (- x + 1)$

Etapa 5.3.7

Multiplique $\frac{x}{- x + 1}$ por $- x + 1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Etapa 5.3.8

Cancele o fator comum de $- x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Cancele o fator comum.

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = \frac{x (- x + 1)}{- x + 1}$

Etapa 5.3.8.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (\ln (\frac{x + 1}{1 - x})) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$ é o inverso de $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x + 1}{1 - x})$