Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ como uma equação.

$y = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados por $1 + 2 e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum de $1 + 2 e^{y}$ .

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Etapa 3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Etapa 3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique $x (1 + 2 e^{y})$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.2.1.2.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Subtraia $2 x e^{y}$ dos dois lados da equação.

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

Etapa 3.4.2

Fatore $e^{y}$ de $e^{y} - 2 x e^{y}$ .

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $e^{y}$ de $- 2 x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $e^{y}$ de $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ .

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

Etapa 3.4.3

Divida cada termo em $e^{y} (1 - 2 x) = x$ por $1 - 2 x$ e simplifique.

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Etapa 3.4.3.1

Divida cada termo em $e^{y} (1 - 2 x) = x$ por $1 - 2 x$ .

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $1 - 2 x$ .

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Etapa 3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Divida $e^{y}$ por $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Etapa 3.4.4

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Etapa 3.4.5

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.5.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Etapa 3.4.5.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Etapa 3.4.5.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ é o inverso de $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Etapa 5.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Etapa 5.2.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.4.1

Combine $- 2$ e $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Etapa 5.2.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{(2) e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Etapa 5.2.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}} - \frac{2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Etapa 5.2.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x} - 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Etapa 5.2.4.5

Reordene os termos.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}})$

Etapa 5.2.4.6

Reescreva $\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.2.4.6.1

Subtraia $2 e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 e^{x} + 1}})$

Etapa 5.2.4.6.2

Some $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 e^{x} + 1}})$

Etapa 5.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (1 (2 e^{x} + 1)))$

Etapa 5.2.6

Multiplique $2 e^{x} + 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (2 e^{x} + 1))$

Etapa 5.2.7

Multiplique $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ por $2 e^{x} + 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{1 + 2 e^{x}})$

Etapa 5.2.8

Cancele o fator comum de $2 e^{x} + 1$ e $1 + 2 e^{x}$ .

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Etapa 5.2.8.1

Reordene os termos.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

Etapa 5.2.8.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

Etapa 5.2.8.3

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Etapa 5.2.9

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \ln (e)$

Etapa 5.2.10

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \cdot 1$

Etapa 5.2.11

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x}))$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

Etapa 5.3.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.4.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 (\frac{x}{1 - 2 x})}$

Etapa 5.3.4.2

Combine $2$ e $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

Etapa 5.3.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

Etapa 5.3.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}}$

Etapa 5.3.4.5

Reescreva $\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.3.4.5.1

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 + 0}{1 - 2 x}}$

Etapa 5.3.4.5.2

Some $1$ e $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1}{1 - 2 x}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $1 - 2 x$ .

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Etapa 5.3.6.1

Cancele o fator comum.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

Etapa 5.3.6.2

Reescreva a expressão.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ é o inverso de $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$