Cálculo Exemplos

$f (x) = \arctan (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \arctan (x)$ como uma equação.

$y = \arctan (x)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \arctan (y)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\arctan (y) = x$ .

$\arctan (y) = x$

Etapa 3.2

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$y = \tan (x)$

Etapa 3.3

Remova os parênteses.

$y = \tan (x)$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \tan (x)$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \tan (x)$ é o inverso de $f (x) = \arctan (x)$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\arctan (x))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

Etapa 5.2.3

As funções tangente e arco tangente são inversos.

$f^{- 1} (\arctan (x)) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\tan (x))$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\tan (x)) = \arctan (\tan (x))$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \tan (x)$ é o inverso de $f (x) = \arctan (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \tan (x)$