Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ como uma equação.

$y = \sqrt{8 - 4 x}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{8 - 4 y}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt{8 - 4 y} = x$ .

$\sqrt{8 - 4 y} = x$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{8 - 4 y}}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{8 - 4 y}$ como ${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(8 - 4 y)}^{1} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

$8 - 4 y = x^{2}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$- 4 y = x^{2} - 8$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $- 4 y = x^{2} - 8$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $- 4 y = x^{2} - 8$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 8}{- 4}$

Etapa 3.4.2.3.1.2

Divida $- 8$ por $- 4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 2$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{(\sqrt{8 - 4 x})}^{2}}{4} + 2$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $4$ de $8 - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2) - 4 x}}^{2}}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2) + 4 (- x)}}^{2}}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.1.3

Fatore $4$ de $4 (2) + 4 (- x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2 - x)}}^{2}}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{2^{2} (2 - x)}}^{2}}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{(2 \sqrt{2 - x})}^{2}}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.4

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{2 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{2^{2} {\sqrt{2 - x}}^{2}}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {\sqrt{2 - x}}^{2}}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.6

Reescreva ${\sqrt{2 - x}}^{2}$ como $2 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 - x}$ como ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.6.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 \cdot 2 + 4 (- x)}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.8

Multiplique $4$ por $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{8 + 4 (- x)}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.9

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{8 - 4 x}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.10

Fatore $4$ de $8 - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.10.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2) - 4 x}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.10.2

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2) + 4 (- x)}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.1.10.3

Fatore $4$ de $4 (2) + 4 (- x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Etapa 5.2.3.2.2

Divida $2 - x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - (2 - x) + 2$

Etapa 5.2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 1 \cdot 2 + x + 2$

Etapa 5.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + x + 2$

Etapa 5.2.3.5

Multiplique $- - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + 1 x + 2$

Etapa 5.2.3.5.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + x + 2$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $- 2 + x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{8 - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)}$

Etapa 5.3.3

Fatore $4$ de $8 - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2) - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $4$ de $- 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2) + 4 (- (- \frac{x^{2}}{4} + 2))}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $4$ de $4 (2) + 4 (- (- \frac{x^{2}}{4} + 2))$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 - (- \frac{x^{2}}{4} + 2))}$

Etapa 5.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 + \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 2)}$

Etapa 5.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 + \frac{x^{2}}{4} - 2)}$

Etapa 5.3.5.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 0)}$

Etapa 5.3.5.3

Some $\frac{x^{2}}{4}$ e $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4})}$

Etapa 5.3.6

Combine $4$ e $\frac{x^{2}}{4}$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Etapa 5.3.7

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Reduza a expressão $\frac{4 x^{2}}{4}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Etapa 5.3.7.1.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Etapa 5.3.7.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

Etapa 5.3.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$