Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ como uma equação.

$y = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 3 e^{\frac{1}{3} y + 1}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ .

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ por $3$ .

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $e^{\frac{1}{3} y + 1}$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{3} y + 1} = \frac{x}{3}$

Etapa 3.2.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $y$ .

$e^{\frac{y}{3} + 1} = \frac{x}{3}$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{\frac{y}{3} + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $\ln (e^{\frac{y}{3} + 1})$ movendo $\frac{y}{3} + 1$ para fora do logaritmo.

$(\frac{y}{3} + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Etapa 3.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(\frac{y}{3} + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Etapa 3.4.3

Multiplique $\frac{y}{3} + 1$ por $1$ .

$\frac{y}{3} + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Etapa 3.5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{y}{3} = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

Etapa 3.6

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Etapa 3.7

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.7.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.7.1.1.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Etapa 3.7.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Etapa 3.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.2.1

Simplifique $3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$ .

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Etapa 3.7.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 1$

Etapa 3.7.2.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ é o inverso de $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

Etapa 5.2.3.1.2

Divida $e^{\frac{1}{3} x + 1}$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (e^{\frac{1}{3} x + 1}) - 3$

Etapa 5.2.3.2

Use as regras logarítmicas para mover $\frac{1}{3} x + 1$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{1}{3} x + 1) \ln (e)) - 3$

Etapa 5.2.3.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \ln (e)) - 3$

Etapa 5.2.3.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \cdot 1) - 3$

Etapa 5.2.3.5

Multiplique $\frac{x}{3} + 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3} + 1) - 3$

Etapa 5.2.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

Etapa 5.2.3.7

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.3.7.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

Etapa 5.2.3.7.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 \cdot 1 - 3$

Etapa 5.2.3.8

Multiplique $3$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 - 3$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x + 3 - 3$ .

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Etapa 5.2.4.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) + 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Simplifique $3 \ln (\frac{x}{3})$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(\frac{x}{3})}^{3}) - 3) + 1}$

Etapa 5.3.3.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{3}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{3^{3}}) - 3) + 1}$

Etapa 5.3.3.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{27}) - 3) + 1}$

Etapa 5.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x^{3}}{27}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (\frac{x^{3}}{27})$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

Etapa 5.3.3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.3.4.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1)) + 1}$

Etapa 5.3.3.4.2

Cancele o fator comum.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1) + 1}$

Etapa 5.3.3.4.3

Reescreva a expressão.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) - 1 + 1}$

Etapa 5.3.3.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x^{3}}{27}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Etapa 5.3.3.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.5.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 5.3.3.5.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Etapa 5.3.3.5.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.3.5.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Etapa 5.3.3.5.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Etapa 5.3.3.5.2.2

Simplifique.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Etapa 5.3.3.5.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.3.5.3.1

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Etapa 5.3.3.5.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

Etapa 5.3.3.5.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

Etapa 5.3.3.5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

Etapa 5.3.3.5.3.4

Avalie o expoente.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

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Etapa 5.3.4.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

Etapa 5.3.4.2

Some $\ln (\frac{x}{3})$ e $0$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Etapa 5.3.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Cancele o fator comum.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

Etapa 5.3.6.2

Reescreva a expressão.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ é o inverso de $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$