Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{2 x} + 1$

Etapa 1

Escreva $f (x) = e^{2 x} + 1$ como uma equação.

$y = e^{2 x} + 1$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = e^{2 y} + 1$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $e^{2 y} + 1 = x$ .

$e^{2 y} + 1 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$e^{2 y} = x - 1$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x - 1)$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $\ln (e^{2 y})$ movendo $2 y$ para fora do logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (x - 1)$

Etapa 3.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x - 1)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 y = \ln (x - 1)$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $2 y = \ln (x - 1)$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $2 y = \ln (x - 1)$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ é o inverso de $f (x) = e^{2 x} + 1$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (e^{2 x} + 1)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \frac{\ln ((e^{2 x} + 1) - 1)}{2}$

Etapa 5.2.3

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (e^{2 x} + 1 - 1)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 1 - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $e^{2 x} + 1 - 1$ .

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Etapa 5.2.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.2.4.2

Some $e^{2 x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5.2.5

Multiplique os expoentes em ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Etapa 5.2.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Etapa 5.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Etapa 5.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

Etapa 5.2.6

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

Etapa 5.2.7

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

Etapa 5.2.8

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\ln (x - 1)}{2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

Etapa 5.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{\ln (x - 1)} + 1$

Etapa 5.3.3.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x - 1 + 1$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $x - 1 + 1$ .

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Etapa 5.3.4.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x + 0$

Etapa 5.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ é o inverso de $f (x) = e^{2 x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$