Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ como uma equação.

$y = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$ .

$\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$

Etapa 3.2

Simplifique $\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$ .

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Etapa 3.2.1

Para escrever $- 20$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3} = x$

Etapa 3.2.2

Combine $- 20$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} = x$

Etapa 3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 20 \cdot 3}{3} = x$

Etapa 3.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Multiplique $- 20$ por $3$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 60}{3} = x$

Etapa 3.2.4.2

Subtraia $60$ de $1$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{- 59}{3} = x$

Etapa 3.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} = x$

Etapa 3.3

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} - x = 0$

Etapa 3.4

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $3$ . Depois, simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (2 y^{2}) + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Etapa 3.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 y^{2} + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $- 12$ por $3$ .

$6 y^{2} - 36 y + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Etapa 3.4.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{59}{3}$ para o numerador.

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Etapa 3.4.2.3.2

Cancele o fator comum.

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Etapa 3.4.2.3.3

Reescreva a expressão.

$6 y^{2} - 36 y - 59 + 3 (- x) = 0$

Etapa 3.4.2.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$6 y^{2} - 36 y - 59 - 3 x = 0$

Etapa 3.4.3

Mova $- 59$ .

$6 y^{2} - 36 y - 3 x - 59 = 0$

Etapa 3.4.4

Mova $- 36 y$ .

$6 y^{2} - 3 x - 36 y - 59 = 0$

Etapa 3.5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.6

Substitua os valores $a = 6$ , $b = - 36$ e $c = - 3 x - 59$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (- 3 x - 59))}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Eleve $- 36$ à potência de $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.7.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.7.1.5

Multiplique $- 24$ por $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.7.1.6

Some $1296$ e $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.7.1.7

Fatore $24$ de $72 x + 2712$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.7.1

Fatore $24$ de $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.7.1.7.2

Fatore $24$ de $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.7.1.7.3

Fatore $24$ de $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.7.1.8

Reescreva $24 (3 x + 113)$ como $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.8.1

Fatore $4$ de $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.7.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.7.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.7.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Eleve $- 36$ à potência de $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.8.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.8.1.5

Multiplique $- 24$ por $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.8.1.6

Some $1296$ e $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.8.1.7

Fatore $24$ de $72 x + 2712$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.7.1

Fatore $24$ de $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.8.1.7.2

Fatore $24$ de $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.8.1.7.3

Fatore $24$ de $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.8.1.8

Reescreva $24 (3 x + 113)$ como $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.8.1

Fatore $4$ de $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.8.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.8.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.8.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

Etapa 3.8.3

Simplifique $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Etapa 3.8.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Etapa 3.9

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.1

Eleve $- 36$ à potência de $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.9.1.2

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.9.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.9.1.5

Multiplique $- 24$ por $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.9.1.6

Some $1296$ e $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.9.1.7

Fatore $24$ de $72 x + 2712$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.7.1

Fatore $24$ de $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.9.1.7.2

Fatore $24$ de $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.9.1.7.3

Fatore $24$ de $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.9.1.8

Reescreva $24 (3 x + 113)$ como $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.8.1

Fatore $4$ de $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.9.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.9.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.9.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.9.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

Etapa 3.9.3

Simplifique $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Etapa 3.9.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Etapa 3.10

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ e $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{6 (3 x + 113)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$6 (3 x + 113) \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $6 (3 x + 113) \geq 0$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Divida cada termo em $6 (3 x + 113) \geq 0$ por $6$ .

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Etapa 5.3.2.1.2.1.2

Divida $3 x + 113$ por $1$ .

$3 x + 113 \geq \frac{0}{6}$

Etapa 5.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $6$ .

$3 x + 113 \geq 0$

Etapa 5.3.2.2

Subtraia $113$ dos dois lados da desigualdade.

$3 x \geq - 113$

Etapa 5.3.2.3

Divida cada termo em $3 x \geq - 113$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Divida cada termo em $3 x \geq - 113$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

Etapa 5.3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

Etapa 5.3.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 113}{3}$

Etapa 5.3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x \geq - \frac{113}{3}$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ é o intervalo de $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ é o domínio de $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Etapa 6