Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ como uma equação.

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = y^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $y^{\frac{2}{3}} = x$ .

$y^{\frac{2}{3}} = x$

Etapa 3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{3}{2}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Simplifique ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 3.3.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.3.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique.

$y = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ é o inverso de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $x^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\sqrt{x^{3}}$

Etapa 5.3.2

Defina o radicando em $\sqrt{x^{3}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{3} \geq 0$

Etapa 5.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique a equação.

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Etapa 5.3.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.3.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.3.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 5.3.3.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.3.3.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x \geq 0$

Etapa 5.3.4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 5.4.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Etapa 5.4.2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ é o intervalo de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ é o domínio de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ é o inverso de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 6