Cálculo Exemplos

$f (t) = \frac{t}{e^{t}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{{(e^{t})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{t})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{t \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{t} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 2.3

Multiplique $e^{t}$ por $1$ .

$\frac{e^{t} - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} - t e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reordene os termos.

$\frac{- e^{t} t + e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 4.2

Fatore $e^{t}$ de $- e^{t} t + e^{t}$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $e^{t}$ de $- e^{t} t$ .

$\frac{e^{t} (- t) + e^{t}}{e^{2 t}}$

Etapa 4.2.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{t} (- t) + e^{t} \cdot 1}{e^{2 t}}$

Etapa 4.2.3

Fatore $e^{t}$ de $e^{t} (- t) + e^{t} \cdot 1$ .

$\frac{e^{t} (- t + 1)}{e^{2 t}}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $e^{t}$ e $e^{2 t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Fatore $e^{2 t}$ de $e^{t} (- t + 1)$ .

$\frac{e^{2 t} (e^{- t} (- t + 1))}{e^{2 t}}$

Etapa 4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{2 t} (e^{- t} (- t + 1))}{e^{2 t} \cdot 1}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 t} (e^{- t} (- t + 1))}{e^{2 t} \cdot 1}$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{- t} (- t + 1)}{1}$

Etapa 4.3.2.4

Divida $e^{- t} (- t + 1)$ por $1$ .

$e^{- t} (- t + 1)$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- t} (- t) + e^{- t} \cdot 1$

Etapa 4.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- e^{- t} t + e^{- t} \cdot 1$

Etapa 4.6

Multiplique $e^{- t}$ por $1$ .

$- e^{- t} t + e^{- t}$

Etapa 4.7

Reordene os fatores em $- e^{- t} t + e^{- t}$ .

$- t e^{- t} + e^{- t}$