Cálculo Exemplos

$f (t) = \frac{t}{3 - t} + 5 t^{3}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{t}{3 - t} + 5 t^{3}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = 3 - t$ .

$\frac{(3 - t) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 - t]}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 - t]}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Etapa 2.4

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 - \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 - 1 \cdot 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Etapa 2.7

Multiplique $3 - t$ por $1$ .

$\frac{3 - t - t (0 - 1 \cdot 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Etapa 2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 - t - t (0 - 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Etapa 2.9

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{3 - t - t \cdot - 1}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Etapa 2.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 - t + 1 t}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Etapa 2.11

Multiplique $t$ por $1$ .

$\frac{3 - t + t}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Etapa 2.12

Some $- t$ e $t$ .

$\frac{3 + 0}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Etapa 2.13

Some $3$ e $0$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ .

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Etapa 3.1

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t^{3}$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 5 (3 t^{2})$

Etapa 3.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 15 t^{2}$

Etapa 4

Reordene os termos.

$15 t^{2} + \frac{3}{{(3 - t)}^{2}}$