Cálculo Exemplos

$f (x) = (x^{3} + 4 x) (3 x^{2} + 2 x - 5)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3} + 4 x$ e $g (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5$ .

$(x^{3} + 4 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 5] + (3 x^{2} + 2 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 2 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(x^{3} + 4 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (3 x^{2} + 2 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x]$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 4 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (3 x^{2} + 2 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x^{3} + 4 x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (3 x^{2} + 2 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x]$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$(x^{3} + 4 x) (6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (3 x^{2} + 2 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x]$

Etapa 2.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 4 x) (6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (3 x^{2} + 2 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{3} + 4 x) (6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (3 x^{2} + 2 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x]$

Etapa 2.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$(x^{3} + 4 x) (6 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (3 x^{2} + 2 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x]$

Etapa 2.8

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{3} + 4 x) (6 x + 2 + 0) + (3 x^{2} + 2 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x]$

Etapa 2.9

Some $6 x + 2$ e $0$ .

$(x^{3} + 4 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x]$

Etapa 2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$(x^{3} + 4 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$(x^{3} + 4 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.12

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 4 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{3} + 4 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4 \cdot 1)$

Etapa 2.14

Multiplique $4$ por $1$ .

$(x^{3} + 4 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Fatore $1$ de $(x^{3} + 4 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $1$ de $(x^{3} + 4 x) (6 x + 2)$ .

$1 ((x^{3} + 4 x) (6 x + 2)) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$

Etapa 3.1.2

Fatore $1$ de $(3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$ .

$1 ((x^{3} + 4 x) (6 x + 2)) + 1 ((3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4))$

Etapa 3.1.3

Fatore $1$ de $1 ((x^{3} + 4 x) (6 x + 2)) + 1 ((3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4))$ .

$1 ((x^{3} + 4 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4))$

Etapa 3.2

Multiplique $(x^{3} + 4 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$ por $1$ .

$(x^{3} + 4 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$(6 x + 2) (x^{3} + 4 x) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$

Etapa 3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $(6 x + 2) (x^{3} + 4 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x (x^{3} + 4 x) + 2 (x^{3} + 4 x) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$

Etapa 3.4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x \cdot x^{3} + 6 x (4 x) + 2 (x^{3} + 4 x) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$

Etapa 3.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x \cdot x^{3} + 6 x (4 x) + 2 x^{3} + 2 (4 x) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$

Etapa 3.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.2.1.1

Mova $x^{3}$ .

$6 (x^{3} x) + 6 x (4 x) + 2 x^{3} + 2 (4 x) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 3.4.2.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 (x^{3} x^{1}) + 6 x (4 x) + 2 x^{3} + 2 (4 x) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$

Etapa 3.4.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{3 + 1} + 6 x (4 x) + 2 x^{3} + 2 (4 x) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$

Etapa 3.4.2.1.3

Some $3$ e $1$ .

$6 x^{4} + 6 x (4 x) + 2 x^{3} + 2 (4 x) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$

Etapa 3.4.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{4} + 6 \cdot 4 x \cdot x + 2 x^{3} + 2 (4 x) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$

Etapa 3.4.2.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.2.3.1

Mova $x$ .

$6 x^{4} + 6 \cdot 4 (x \cdot x) + 2 x^{3} + 2 (4 x) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$

Etapa 3.4.2.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$6 x^{4} + 6 \cdot 4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (4 x) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$

Etapa 3.4.2.4

Multiplique $6$ por $4$ .

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (4 x) + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$

Etapa 3.4.2.5

Multiplique $4$ por $2$ .

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + (3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$

Etapa 3.4.3

Expanda $(3 x^{2} + 2 x - 5) (3 x^{2} + 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 4 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 4$

Etapa 3.4.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 4 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 4$

Etapa 3.4.4.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.4.2.1

Mova $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 4 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 4$

Etapa 3.4.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot 4 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 4$

Etapa 3.4.4.2.3

Some $2$ e $2$ .

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 3 \cdot 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 4 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 4$

Etapa 3.4.4.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 4 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 4$

Etapa 3.4.4.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 9 x^{4} + 12 x^{2} + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 4$

Etapa 3.4.4.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 9 x^{4} + 12 x^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 4 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 4$

Etapa 3.4.4.6

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.4.6.1

Mova $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 9 x^{4} + 12 x^{2} + 2 \cdot 3 (x^{2} x) + 2 x \cdot 4 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 4$

Etapa 3.4.4.6.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.4.4.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 9 x^{4} + 12 x^{2} + 2 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 4 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 4$

Etapa 3.4.4.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 9 x^{4} + 12 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 4 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 4$

Etapa 3.4.4.6.3

Some $2$ e $1$ .

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 9 x^{4} + 12 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{3} + 2 x \cdot 4 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 4$

Etapa 3.4.4.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 9 x^{4} + 12 x^{2} + 6 x^{3} + 2 x \cdot 4 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 4$

Etapa 3.4.4.8

Multiplique $4$ por $2$ .

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 9 x^{4} + 12 x^{2} + 6 x^{3} + 8 x - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 4$

Etapa 3.4.4.9

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 9 x^{4} + 12 x^{2} + 6 x^{3} + 8 x - 15 x^{2} - 5 \cdot 4$

Etapa 3.4.4.10

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 9 x^{4} + 12 x^{2} + 6 x^{3} + 8 x - 15 x^{2} - 20$

Etapa 3.4.5

Subtraia $15 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 9 x^{4} - 3 x^{2} + 6 x^{3} + 8 x - 20$

Etapa 3.5

Some $6 x^{4}$ e $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} + 24 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x - 3 x^{2} + 6 x^{3} + 8 x - 20$

Etapa 3.6

Subtraia $3 x^{2}$ de $24 x^{2}$ .

$15 x^{4} + 21 x^{2} + 2 x^{3} + 8 x + 6 x^{3} + 8 x - 20$

Etapa 3.7

Some $2 x^{3}$ e $6 x^{3}$ .

$15 x^{4} + 21 x^{2} + 8 x^{3} + 8 x + 8 x - 20$

Etapa 3.8

Some $8 x$ e $8 x$ .

$15 x^{4} + 21 x^{2} + 8 x^{3} + 16 x - 20$