Cálculo Exemplos

$f (x) = (9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 9 x^{5} - 6 x^{- 2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [9 x^{5} - 6 x^{- 2}]$

Etapa 2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [9 x^{5} - 6 x^{- 2}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{5} - 6 x^{- 2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}]$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}])$

Etapa 3.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{5}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (9 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (9 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}])$

Etapa 3.4

Multiplique $5$ por $9$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}])$

Etapa 3.5

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{- 2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} - 6 \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} - 6 (- 2 x^{- 3}))$

Etapa 3.7

Multiplique $- 2$ por $- 6$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 x^{- 3})$

Etapa 4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(9 x^{5} - 6 \frac{1}{x^{2}}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 x^{- 3})$

Etapa 5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(9 x^{5} - 6 \frac{1}{x^{2}}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(9 x^{5} \sec (x) - 6 \frac{1}{x^{2}} \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - 6 \frac{1}{x^{2}} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - 6 \frac{1}{x^{2}} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 6.4

Combine os termos.

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Etapa 6.4.1

Combine $- 6$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) + \frac{- 6}{x^{2}} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 6.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6}{x^{2}} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 6.4.3

Combine $\sec (x)$ e $\frac{6}{x^{2}}$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{\sec (x) \cdot 6}{x^{2}} \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 6.4.4

Mova $6$ para a esquerda de $\sec (x)$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \cdot \sec (x)}{x^{2}} \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 6.4.5

Combine $\tan (x)$ e $\frac{6 \sec (x)}{x^{2}}$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{\tan (x) (6 \sec (x))}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 6.4.6

Mova $6$ para a esquerda de $\tan (x)$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \cdot \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Etapa 6.4.7

Combine $12$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) \frac{12}{x^{3}}$

Etapa 6.4.8

Combine $\sec (x)$ e $\frac{12}{x^{3}}$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \frac{\sec (x) \cdot 12}{x^{3}}$

Etapa 6.4.9

Mova $12$ para a esquerda de $\sec (x)$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \frac{12 \sec (x)}{x^{3}}$

Etapa 6.5

Reordene os termos.

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) + 45 x^{4} \sec (x) - \frac{6 \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \frac{12 \sec (x)}{x^{3}}$