Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x^{2} + 6 x - 7)}^{2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 6 x - 7$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 6 x - 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 6 x - 7$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 6 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 2.6

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 + 0)$

Etapa 2.7

Some $2 x + 6$ e $0$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x^{2} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 7) (2 x + 6)$

Etapa 3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$(2 x^{2} + 12 x + 2 \cdot - 7) (2 x + 6)$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$(2 x^{2} + 12 x - 14) (2 x + 6)$

Etapa 3.3

Reordene os fatores de $(2 x^{2} + 12 x - 14) (2 x + 6)$ .

$(2 x + 6) (2 x^{2} + 12 x - 14)$

Etapa 3.4

Expanda $(2 x + 6) (2 x^{2} + 12 x - 14)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Etapa 3.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Etapa 3.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.2.1

Mova $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.5.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Etapa 3.5.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Etapa 3.5.2.3

Some $2$ e $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Etapa 3.5.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Etapa 3.5.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 x \cdot x + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Etapa 3.5.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.5.1

Mova $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Etapa 3.5.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 x^{2} + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Etapa 3.5.6

Multiplique $2$ por $12$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Etapa 3.5.7

Multiplique $- 14$ por $2$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Etapa 3.5.8

Multiplique $2$ por $6$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Etapa 3.5.9

Multiplique $12$ por $6$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 72 x + 6 \cdot - 14$

Etapa 3.5.10

Multiplique $6$ por $- 14$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 72 x - 84$

Etapa 3.6

Some $24 x^{2}$ e $12 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} - 28 x + 72 x - 84$

Etapa 3.7

Some $- 28 x$ e $72 x$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 44 x - 84$