Cálculo Exemplos

$f (x) = {(3 x^{4} - 8 x)}^{3} + \sqrt{x}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(3 x^{4} - 8 x)}^{3} + \sqrt{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(3 x^{4} - 8 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{4} - 8 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [{(3 x^{4} - 8 x)}^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 3 x^{4} - 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x^{4} - 8 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 8 x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 8 x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x^{4} - 8 x$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 8 x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 2.5

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 (4 x^{3}) - 8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (3 (4 x^{3}) - 8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 2.7

Multiplique $4$ por $3$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 2.8

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Etapa 3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.2

Para escrever $3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.3

Combine $3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8)$ e $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) (2 x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2

Reordene os termos.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}} {(3 x^{4} - 8 x)}^{2} (12 x^{3} - 8) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$