Cálculo Exemplos

$f (t) = {(t + 5)}^{2} e^{4 t}$

Etapa 1

Reescreva ${(t + 5)}^{2}$ como $(t + 5) (t + 5)$ .

$\frac{d}{d t} [(t + 5) (t + 5) e^{4 t}]$

Etapa 2

Expanda $(t + 5) (t + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d t} [(t (t + 5) + 5 (t + 5)) e^{4 t}]$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d t} [(t \cdot t + t \cdot 5 + 5 (t + 5)) e^{4 t}]$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d t} [(t \cdot t + t \cdot 5 + 5 t + 5 \cdot 5) e^{4 t}]$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{d}{d t} [(t^{2} + t \cdot 5 + 5 t + 5 \cdot 5) e^{4 t}]$

Etapa 3.1.2

Mova $5$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{d}{d t} [(t^{2} + 5 \cdot t + 5 t + 5 \cdot 5) e^{4 t}]$

Etapa 3.1.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{d}{d t} [(t^{2} + 5 t + 5 t + 25) e^{4 t}]$

Etapa 3.2

Some $5 t$ e $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{2} + 10 t + 25$ e $g (t) = e^{4 t}$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) \frac{d}{d t} [e^{4 t}] + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 4 t$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 t$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [4 t]) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) (e^{u} \frac{d}{d t} [4 t]) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 t$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) (e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 t$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} (4 \cdot 1) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Etapa 6.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} \cdot 4 + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Etapa 6.3.2

Mova $4$ para a esquerda de $(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t}$ .

$4 \cdot ((t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t}) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Etapa 6.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 10 t + 25$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])$

Etapa 6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])$

Etapa 6.6

Como $10$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $10 t$ em relação a $t$ é $10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25])$

Etapa 6.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25])$

Etapa 6.8

Multiplique $10$ por $1$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10 + \frac{d}{d t} [25])$

Etapa 6.9

Como $25$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $25$ em relação a $t$ é $0$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10 + 0)$

Etapa 6.10

Some $2 t + 10$ e $0$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 t^{2} + 4 (10 t) + 4 \cdot 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10)$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 t^{2} e^{4 t} + 4 (10 t) e^{4 t} + 4 \cdot 25 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10)$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 t^{2} e^{4 t} + 4 (10 t) e^{4 t} + 4 \cdot 25 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t) + e^{4 t} \cdot 10$

Etapa 7.4

Combine os termos.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $10$ por $4$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 40 t e^{4 t} + 4 \cdot 25 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t) + e^{4 t} \cdot 10$

Etapa 7.4.2

Multiplique $4$ por $25$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 40 t e^{4 t} + 100 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t) + e^{4 t} \cdot 10$

Etapa 7.4.3

Mova $10$ para a esquerda de $e^{4 t}$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 40 t e^{4 t} + 100 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t) + 10 \cdot e^{4 t}$

Etapa 7.4.4

Some $40 t e^{4 t}$ e $e^{4 t} (2 t)$ .

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Etapa 7.4.4.1

Mova $e^{4 t}$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 40 t e^{4 t} + 2 t e^{4 t} + 100 e^{4 t} + 10 e^{4 t}$

Etapa 7.4.4.2

Some $40 t e^{4 t}$ e $2 t e^{4 t}$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 42 t e^{4 t} + 100 e^{4 t} + 10 e^{4 t}$

Etapa 7.4.5

Some $100 e^{4 t}$ e $10 e^{4 t}$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 42 t e^{4 t} + 110 e^{4 t}$

Etapa 7.5

Reordene os termos.

$4 e^{4 t} t^{2} + 42 e^{4 t} t + 110 e^{4 t}$

Etapa 7.6

Reordene os fatores em $4 e^{4 t} t^{2} + 42 e^{4 t} t + 110 e^{4 t}$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 42 t e^{4 t} + 110 e^{4 t}$