Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\sec (x)}{8 + \sec (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 8 + \sec (x)$ .

$\frac{(8 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [8 + \sec (x)]}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(8 + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [8 + \sec (x)]}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 + \sec (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(8 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(8 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(8 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 4

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(8 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 5

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{(8 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 6

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{(8 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(8 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(8 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(8 \sec (x) + \sec (x) \sec (x)) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $\sec (x) \sec (x)$ .

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Etapa 9.3.1.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{8 \sec (x) \tan (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.3.1.2

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{8 \sec (x) \tan (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.3.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{8 \sec (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.3.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{8 \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.3.2

Combine os termos opostos em $8 \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

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Etapa 9.3.2.1

Subtraia $\sec^{2} (x) \tan (x)$ de $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$\frac{8 \sec (x) \tan (x) + 0}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.3.2.2

Some $8 \sec (x) \tan (x)$ e $0$ .

$\frac{8 \sec (x) \tan (x)}{{(8 + \sec (x))}^{2}}$