Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{\csc^{5} (x)}$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Reescreva $\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ como ${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\csc^{5} (x))}^{- 1}]$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{\csc (x)}^{5 \cdot - 1}]$

Etapa 1.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [\csc^{- 5} (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 5}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 5}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 5$ .

$- 5 u^{- 6} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\csc (x)$ .

$- 5 \csc^{- 6} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 3

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 5 \csc^{- 6} (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Etapa 4

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$5 \csc^{- 6} (x) (\csc (x) \cot (x))$

Etapa 5

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$5 (\csc^{1} (x) \csc^{- 6} (x)) \cot (x)$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 {\csc (x)}^{1 - 6} \cot (x)$

Etapa 7

Subtraia $6$ de $1$ .

$5 \csc^{- 5} (x) \cot (x)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 \frac{1}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

Etapa 8.2

Combine os termos.

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Etapa 8.2.1

Combine $5$ e $\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

Etapa 8.2.2

Combine $\frac{5}{\csc^{5} (x)}$ e $\cot (x)$ .

$\frac{5 \cot (x)}{\csc^{5} (x)}$

Etapa 8.3

Fatore $\csc (x)$ de $\csc^{5} (x)$ .

$\frac{5 \cot (x)}{\csc (x) \csc^{4} (x)}$

Etapa 8.4

Separe as frações.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\csc (x)}$

Etapa 8.5

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Etapa 8.6

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Etapa 8.7

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

Etapa 8.8

Escreva $\sin (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

Etapa 8.9

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 8.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

Etapa 8.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cos (x)$

Etapa 8.10

Combine $\frac{5}{\csc^{4} (x)}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\csc^{4} (x)}$

Etapa 8.11

Fatore $\csc (x)$ de $\csc^{4} (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\csc (x) \csc^{3} (x)}$

Etapa 8.12

Separe as frações.

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

Etapa 8.13

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Etapa 8.14

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 8.15

Multiplique $\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$ .

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Etapa 8.15.1

Combine $\cos (x)$ e $\frac{5}{\csc^{3} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)} \sin (x)$

Etapa 8.15.2

Combine $\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc^{3} (x)}$

Etapa 8.16

Fatore $\csc (x)$ de $\csc^{3} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc (x) \csc^{2} (x)}$

Etapa 8.17

Separe as frações.

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

Etapa 8.18

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Etapa 8.19

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 8.20

Fatore $\csc (x)$ de $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\csc (x) \csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 8.21

Separe as frações.

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 8.22

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 8.23

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 8.24

Simplifique.

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Etapa 8.24.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 8.24.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 8.24.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 1} (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 8.24.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 8.25

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 8.25.1

Mova $\sin (x)$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

Etapa 8.25.2

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ .

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Etapa 8.25.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

Etapa 8.25.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 2} \cos (x)$

Etapa 8.25.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Etapa 8.26

Separe as frações.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Etapa 8.27

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Etapa 8.28

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{1} (1 \sin (x)) \sin^{3} (x) \cos (x)$

Etapa 8.29

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{5}{1} \sin (x) \sin^{3} (x) \cos (x)$

Etapa 8.30

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin^{3} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 8.30.1

Mova $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cos (x)$

Etapa 8.30.2

Multiplique $\sin^{3} (x)$ por $\sin (x)$ .

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Etapa 8.30.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)$

Etapa 8.30.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{1} {\sin (x)}^{3 + 1} \cos (x)$

Etapa 8.30.3

Some $3$ e $1$ .

$\frac{5}{1} \sin^{4} (x) \cos (x)$

Etapa 8.31

Divida $5$ por $1$ .

$5 \sin^{4} (x) \cos (x)$