Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Reescreva $\frac{1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$ como ${({(1 + \sec (x))}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 + \sec (x))}^{2})}^{- 1}]$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${({(1 + \sec (x))}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \sec (x))}^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \sec (x))}^{- 2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 1 + \sec (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + \sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \sec (x)$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sec (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Etapa 3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 4

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 2 {(1 + \sec (x))}^{- 3} (\sec (x) \tan (x))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \sec (x) \tan (x)$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \sec (x) \tan (x)$

Etapa 5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \sec (x) \tan (x)$

Etapa 5.2.3

Combine $\sec (x)$ e $\frac{2}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$ .

$- \frac{\sec (x) \cdot 2}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \tan (x)$

Etapa 5.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $\sec (x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{3}} \tan (x)$

Etapa 5.2.5

Combine $\tan (x)$ e $\frac{2 \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$ .

$- \frac{\tan (x) (2 \sec (x))}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$

Etapa 5.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $\tan (x)$ .

$- \frac{2 \tan (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{3}}$